jeudi 31 août 2017

Communication

 


Communication (n.f) Du latin communicare : mettre en commun, faire part de, partager (dérivé de communis : commun)

Exemple : Un éternel retour... qui vaut quand même le coup d'essayer !

mercredi 30 août 2017

EDP

Turbulence d'un jet d'eau (Mylton VAN DYKE – "An Album of Fluid Motion", 1985)


Les équations représentant les systèmes mécaniques mettent en jeu des grandeurs physiques et leurs variations dans le temps ou dans l’espace : ce sont des équations « aux dérivées partielles ». Les mathématiciens les classent en trois grandes familles qui traduisent leurs propriétés, leur personnalité algébrique en quelque sorte. L’équation de déformation d’une membrane est elliptique ; l’équation de propagation du son est hyperbolique et l’équation de propagation de la chaleur est parabolique.


Les équations qui permettent de représenter des courbes comme les parabole, hyperbole et ellipse « ressemblent » aux équations différentielles. Les outils de la géométrie telle que nous pouvons la voir dans notre quotidien sont généralisés pour démontrer certaines propriétés d’équations différentielles.
  • Existe-t-il une solution à une équation aux dérivées partielles ? Si oui, sous quelles conditions ?
  • Est-ce que cette solution, lorsqu’elle existe, est unique ? Peut-on en trouver d’autres ? Si oui, combien et sous quelles conditions ?
  • Comment se comporte la solution (ou les solutions, si elles sont plusieurs) : est-elle régulière comme le mouvement d’une pendule, ou varie-t-elle de façon saccadée comme le signal d’un sismographe ?
Existence, unicité et régularité ont avant tout un intérêt pratique pour l’ingénieur. Les théorèmes démontrés par les mathématiciens sont à la base du processus qui permet de bâtir la confiance en une simulation numérique. C'est ce que raconte Cédric VILANI dans son récit Théorème Vivant : la genèse d'un théorème montrant des propriétés d'une équation prend plusieurs années de réflexion et de travail !

Savoir qu’une solution existe permet pour commencer de s’assurer qu’il y a un sens à la calculer… Connaître les conditions qui garantissent que la solution est unique, ou non, permet de prendre du recul par rapport au résultat d’un calcul. Si les mathématiques prédisent plusieurs états possibles à un système physique dans une situation donnée, certains peuvent ne pas avoir de signification physique. Dans d’autres situations, il est possible que le système physique passe d’un état à un autre : on parle de bifurcation. Le calcul doit être en accord avec la physique et prédire ce changement d’état !

Il arrive aussi qu’une simulation produise un résultat qui ne s’accorde pas bien avec la réalité physique. Tour, cheminée ou câble dans le vent : la forme d’un écoulement en aval d’un obstacle conditionne son aérodynamisme et sa résistance aux aléas météorologiques. Autour d’un cylindre, les particules d’air se séparent en tourbillons entraînés par l’écoulement. Un code de calcul d’aérodynamique utilisé avec deux méthodes numériques donne pour cette configuration simple deux résultats de calculs différents. Si cette différence est sans conséquence pour un cas académique, pour lequel il s’agit de comprendre, elle ne l’est évidemment pas pour une application industrielle – par exemple sur le choix de la forme d'un casque cycliste produit en grande série...

 http://www.hpctoday.com

La simulation produit presque toujours un résultat, mais le code de calcul ne fait pas la différence entre les solutions qu’il fournit. Le sens physique de l’ingénieur et sa connaissance des méthodes numériques sont alors cruciaux pour faire le tri !

mardi 29 août 2017

Lacrymogène



Lacrymogène (adj.) Se dit d'un composé chimique qui provoque une irritation ou un écoulement de larmes.

Exemple : La rentrée politique s'annonce chaude !

lundi 28 août 2017

Des chiffres... astronomiques !

http://gallica.bnf.fr


12,5 milliards d'années... racontées en 100 heures ! Trois milliards de fois la distance entre le Soleil et Alpha du Centaure, l'étoile la plus proche de notre galaxie : c'est la taille de la boite numérique dans laquelle une équipe de chercheurs suisses a fait rentrer un billion de particules (un millier de milliards) pour réaliser une simulation exceptionnelle, relatée en juin dernier par le magazine Sciences et Avenir. Romain TEYSSIER, chercheur au Centre d'Astrophysique et de Cosmologie de l'Université de Zurich, et ses collègues Douglas POTTER et Joachim STADEL, espèrent avec ce calcul contribuer à découvrir des mystères cachés de l'Univers...

La petite histoire raconte que c’est en regardant une pomme tomber au sol qu'Isaac NEWTON (1643-1727) a commencé à concevoir la théorie de la gravitation universelle qui porte son nom. Newton a ainsi contribué à formuler les lois de la mécanique classique – à sa façon, le dessinateur Marcel GOTLIB lui a rendu hommage des années durant dans ses Rubriques-à-Brac...

(c) Marcel GOTLIB

Lois de l'attraction

Planètes, étoiles, galaxies : la force de gravitation décrit par exemple les interactions entre deux entités célestes. Elle est représentée par la formule F = - G m × m' / d² u qui dit que deux corps de masse m et m' s’attirent selon une force F qui est proportionnelle au produit de leur masse (d’autant plus grand que chacune l’est) à l’inverse du carré de la distance d qui les sépare (d’autant plus petite que la distance est grande). Elle est dirigée comme une flèche u entre les deux corps qui interagissent par l’intermédiaire de la gravité ; G est la constante gravitationnelle : elle est immuable comme le nombre 𝜋. Les distances qui séparent les objets du cosmos sont très grandes, leur masses aussi : la force de gravitation joue un rôle prépondérant dans leur interaction. La Lune attire la Terre autant que cette dernière attire son satellite : c'est ce que dit la formule de Newton. Comme cette phrase de Paul VALERY à propos du physicien anglais : « Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe alors que tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas »...

Isaac NEWTON a également posé les bases du calcul différentiel, qui permet de résoudre les équations du mouvement résultant des forces de gravitation. Il montre alors que les trajectoires de corps célestes décrivent des « coniques » : paraboles, hyperboles ou ellipses...

Une formule aussi simple que celle de la loi de l'attraction permet par exemple de prédire les éclipses ou le passage d’une comète dans le ciel. Elle est utilisée par les astrophysiciens pour comprendre la structure du cosmos et en raconter l’histoire : sous l’effet de la gravitation, notre univers acquiert son ordre et son harmonie cachés.

Stadel et al. ont réalisé en 2016 l’une des simulations les plus précises à ce jour d’un morceau de notre univers, en utilisant un « modèle à N corps ». Il s’agit de décrire les forces de gravitation agissant sur un grand ensemble de particules de taille différentes et qui représentent les corps célestes présents dans l’univers : étoile, amas d’étoiles, galaxies de petite ou grande taille, naines ou supernova, amas de galaxies, etc.

Chiffres vertigineux

Les chiffres de la simulation sont à proprement parler astronomiques ! Une boite numérique carrée, dont un côté mesure 3 milliards de parsec, contient un billion de particules (un million de millions ou mille milliards). Le parsec est une unité de mesure des « grandes distances » utilisées en astronomie : 1 parsec correspond à 3 années lumières, la distance parcourue à la vitesse de 300.000 km/s par la lumière en trois ans. C’est également la distance qui sépare le Soleil d’Alpha du Centaure, l’étoile la plus proche de notre galaxie. La taille du domaine de simulation représente 3 milliards de fois cette distance…

La simulation permet de représenter des galaxies de taille dix fois moins importante que notre voie lactée, ce qui correspond par exemple à l’amas d’étoiles du grand nuage de Magellan. La simulation est réalisée sur des temps couvrant la durée de vie de l’univers, soit près de 12,5 milliards d’années. En un peu moins de 100 heures de calcul !

Le Big Bang, instant de vie initial de notre univers correspond au temps zéro. Les astrophysiciens ne disposent en réalité pour débuter leur simulation que de données fiables à partir du moment où l’univers est suffisamment organisé pour que les forces de gravitation prennent le dessus sur les autres forces qui sont entré en action dans les premières phases de vie de l’Univers. Ces données sont datées entre 1 et 10 millions d’années environ après le Big Bang ; elles sont accessibles au moyen d’observation dans l’espace – pour voir dans un passé lointain, on regarde loin grâce à la puissance de télescopes comme Hubble.

Percer les mystères de l'Univers

Au jour de la simulation, la précision qu'elle offre est jugée très satisfaisante par les astronomes et les astrophysiciens. Elle représente les endroits où la matière s’est organisée dans l’Univers sous l’effet de la gravitation et fournit des données de calcul suffisamment précises pour être comparées à des observations qui seront réalisées sur le cosmos dans quelques années. Jusqu’à maintenant, les calculs n'avaient pas la précision requise…

(c) Joachim STADEL, Université de Zurich, 2017

La simulation est rendue possible grâce à deux innovations :
  • l’utilisation d’algorithmes de calcul particulièrement efficaces pour gérer les interactions entre très grands nombres de particules. Calculer directement les interactions entre N particules nécessite de l’ordre de N×N=N² opérations – on dit que l’algorithme « est en O(N²) ». Une méthode appropriée, la méthode multipolaire rapide, permet de réduire considérablement le nombre d’opérations de calcul. Elle consiste à représenter les interactions d’une particule avec les autres au moyen d’un arbre, là où l’approche directe la représente au moyen d’un réseau. La seconde est en O(N²) quand la première est en O(N) : pour un milliard de milliards de particules, la différence est nette ! La validation de la simulation est obtenue en comparant un calcul direct et un calcul optimisé sur un échantillon de quelques millions de particules ; le calcul sur le billion de particules est réalisé avec l’algorithme optimisé – impossible de la faire autrement !
  • le recours à des supercalculateurs exploitant la capacité de calcul offertes par les cartes graphiques (on parle de GPU), développées par l’industrie du jeu vidéo en particulier. 4000 cartes graphiques ont été mises en parallèle sur le supercalculateur du Centre de Calcul National Suisse, dont les performances et l’architecture sont à ce jour uniques au monde. Le temps de calcul sur GPU est de l’ordre de 100 heures – par comparaison, la durée d’un calcul parallèle sur le même nombre de processeurs CPU est estimée à… 20 ans !
Le code de calcul résulte d’un travail de développement d’une vingtaine d’années et son adaptation aux spécificités de cette simulation a pris environ trois ans. Le portage du code sur d'autres supercalculateurs devrait permettre des simulations avec 10 ou 100 fois plus de particules... offrant ainsi une plus grande résolution.

L’enjeu est ensuite de détecter l'énergie cachée du cosmos : imputée à cette « matière noire » dont l’existence et la quantité pourraient remettre en cause les modèles physiques de l’univers, tels que donnés par la théorie de Newton et d’Albert EINSTEIN. Et peut-être son devenir : un enjeu scientifique, autant que philosophique, auquel contribuent les technologies avancées de simulation numérique.


Douglas POTTER, Joachim STADEL, Romain TEYSSIER. Beyond trillion particle cosmological simulations for the next era of galaxy surveys. Computational Astrophysics and Cosmology, 2017.

dimanche 27 août 2017

Onde sensuelle #5

 (c) Edoudard BOUBAT


Il est plutôt rare de trouver des solutions analytiques aux équations de la mécanique, comme celle de la propagation du son, et le recours à une technique numérique s’avère en général nécessaire. Le principe d’une méthode numérique est de calculer une solution approchée pour les équations du modèle physique. Supposons que la solution exacte à une équation, notée 𝜓, décrive une courbe que l’on peut représenter sur deux axes : la position sur l’horizontal, la grandeur physique sur le vertical. 

On cherche une solution approchée comme une courbe construite à partir de valeurs calculées en des endroits précis : cette collection de points de calcul est notée xi. Entre deux points, l’évolution de la grandeur physique 𝝍 est rendue par un morceau d’une courbe construite avec une fonction mathématique connue. La plus simple est le plus court chemin entre les deux points : un morceau de droite qui permet de calculer en tout point la valeur de 𝝍 à partir des valeurs de cette grandeur aux extrémités du segment. La distance entre deux points de calcul est notée h, on l’appelle le pas. La courbe calculée correspond ainsi à une approximation de la courbe théorique. On note la courbe calculée 𝝍h : l’indice h fait référence au pas et permet de la distinguer de la courbe théorique   qui est solution des équations, mais n’est pas connue.

La méthode d’approximation retenue doit permettre de calculer avec précision la solution : il s’agit de s’assurer que, lorsque le pas est de plus en plus petit, la fonction calculée "se rapproche" de la fonction théorique 𝝍. En langage mathématique, il s’agit de montrer la convergence du processus d’approximation. On parle aussi de discrétisation : le processus correspond à un passage d’une grandeur continue (la fonction théorique prend des valeurs sur un ensemble continu de points), à une grandeur discrète (les valeurs calculées de cette fonction le sont pour une séquence de points).


La méthode des éléments finis est, parmi de nombreuses méthodes numériques, la plus  utilisée aujourd’hui dans les codes de calcul mis en œuvre par les ingénieurs. Elle utilise ce principe de discrétisation, pour lequel on dénombre   points de calcul : la taille du problème. Ce sont les nœuds d’un maillage fait d’éléments à plusieurs faces – d’où la méthode tire son nom ! Dans un espace à trois dimensions, les éléments fournissent une représentation du système étudié : n'importe lequel, la preuve !

www.cmap.polytechnique.fr/xaudio

L'équation de propagation obtenue pour les éléments finis est de la forme :
M²𝜓/∂t² + K 𝜓 = F
Elle porte sur des quantités qui évoluent dans le temps et met en jeu des matrices : la matrice de masse M et la matrice de raideur K.  Elles représentent l’énergie mécanique du système. L’énergie due au mouvement du système, ou énergie cinétique, est contenue dans la matrice de masse ; l’énergie due à la déformation du système, ou énergie potentielle, est contenue dans la matrice de raideur.

Les matrices sont des tableaux de nombres stockées en lignes et en colonnes. Ces nombres représentent les énergies des éléments issus de la discrétisation du système physique. Dans le maillage, un élément est connecté avec quelques voisins et échange de l’énergie avec eux ; pour les éléments éloignés, il n’y a pas d’énergie échangée. Ainsi dans le tableau des énergies cinétique (la matrice de masse) ou potentielle (la matrice de raideur), on trouve un grand nombre de zéros. Les composants de la matrice différents de zéro indiquent la connexion entre les éléments du maillage. 

Pliées suivant sa diagonale les parties supérieures et inférieures du tableau se superposent : la matrice est symétrique. La conséquence pratique est qu’il suffit de stocker la moitié des nombres dans la mémoire de l’ordinateur pour faire les calculs.

Au-delà de son application à l’équation de propagation, la méthode des éléments finis a un caractère universel. Elle est en effet adaptée aux géométries et aux problèmes les plus divers, que l’on peut représenter avec des éléments de taille et de forme variées. Elle permet en outre de conserver une structure de calcul identique pour des problèmes différents : qu’il s’agisse de s’assurer de la tenue d’un bâtiment lors d’un séisme, de la résistance d’une prothèse médicale au poids de la marche d’un patient, de la qualité du confort acoustique à bord d’une automobile – ou les émissions de bruit du réacteur d'un avion...

www.mscsoftware.com

samedi 26 août 2017

Onde sensuelle #4

www.mechanics-industry.org


En 1984, le cinéaste tchèque Milos FORMAN invente dans Amadeus une rivalité entre Antonio SALIERI et Wolfgang MOZART pour les besoins d’un film qui illustre la puissance du génie créatif et le travail du talent artistique. Une séquence montre Salieri découvrant en secret une partition de Mozart. En lisant les signes sur le papier, il entend dans sa tête l’orchestration du morceau et la contribution de chacun des instruments.

Les symboles musicaux sont aussi mystérieux que les symboles mathématiques pour les néophytes ! Pourtant, chacun peut-être touché par leur beauté graphique… et sans les comprendre, sentir qu’ils contiennent de l’information, décrivent une réalité et expriment une émotion. Ainsi qu’il n’est pas nécessaire d’être mathématicien pour s’intéresser aux équations de la physique et à leur signification, il n’est pas non plus nécessaire d’être musicien pour entendre le génie d’un compositeur à la simple lecture d’une partition. La propagation du son dans une salle de concert permet à l’orchestre de donner toute sa mesure à une œuvre musicale – et suffit à chacun pour l’apprécier.

Extrait d’une partition du Requiem de Mozart : elle représente la ligne des instruments à vents, des violons et du chœur dans le mouvement Dies Irae
www.wikipedia.fr

Avec un programme informatique, il est parfois possible de calculer la propagation du son en utilisant une solution "analytique" à l’équation de propagation; la formule mathématique utilise les fonctions de Bessel, que l'on doit au mathématicien et astronome Friedrich-Wilhelm BESSEL.

Friedrich-Wilhelm BESSEL (1784-1846)

Un exemple de simulation est représenté ci-dessous. La validité du calcul, réalisé en 2008, est attestée par une comparaison avec des résultats expérimentaux décrits dans une étude publiée dix ans auparavant. En simulant la propagation dans des conditions identiques à l’expérience, on montre alors que le calcul reproduit de façon précise l’ensemble des phénomènes observés dans l’expérience, et documentés par ses auteurs.

L’onde de pression incidente (I), de forme cylindrique, touche une coque également cylindrique : on observe alors sa réflexion en une onde (D) qui voyage dans le sens inverse de celui de l’onde incidente (comme la lumière se réfléchit sur un miroir). Sous l’effet de la pression qu’elle reçoit de l’onde incidente, la coque immergée dans l’eau se déforme et entre en vibration. Deux ondes élastiques (A0 et S0) s’y développent et se propagent dans la coque, à une vitesse plus grande que la vitesse de propagation de l’onde acoustique dans l’eau (environ 4500 m/s pour les premières, contre 1500 m/s pour la seconde). Ces deux ondes communiquent leur mouvement à l’eau : leur signature est visible, et elles sont ainsi en avance par rapport à l’onde I !

www.mechanics-industry.org

Le calcul reproduit avec grande précision et la relative simplicité de la solution mathématique permet d’en réaliser un grand nombre en peu de temps – sur un ordinateur portable standard, quelques dizaines de minutes sont nécessaire. Le modèle est limité à une forme simple – et ne correspond évidemment pas à la complexité géométrique d’une installation en mer. Il permet cependant d’avoir une estimation réaliste de grandeurs qui permettent de comprendre les phénomènes, de les visualiser et de les quantifier globalement...

vendredi 25 août 2017

Onde sensuelle #3



L’équation de propagation du son possède un caractère universel : elle peut être utilisée dans de nombreuses situations : par exemple pour  d"écrire l'onde générée par une explosion sous-marine et qui est susceptible d’endommager des installations en mer (une station de production d’énergie, de pompage d’eau, un engin d’exploration ou de transport).

Pour une géométrie de forme simple et à une onde de forme connue, cylindrique par exemple, il est possible d’en trouver une solution. La pression dans l’eau s’écrit en fonction du temps 𝒕, chronométré à partir de l’instant ou l’onde est produite, d’une distance 𝒓 et d’un angle 𝛉 comptés à partir d’un point d’observation. Elle s’écrit de la façon suivante :

 𝜓(𝒓,𝛉,𝒕) = m=1,∞ s∈⟦1,∞⟧  1/(𝒓s/c) × B'm(s,𝒕)/Bm(s,𝒕) × exp(-is𝒕)  × cos(m𝛉)

Cette expression indique que l’onde résulte de l’addition d’une série d’ondelettes qui dépendent de la distance et du temps et qui sont modulées par l’angle d’observation. Le symbole Sigma représente cette somme, dite « discrète » parce qu’elle porte sur une séquence de nombres entiers (1, 2, 3, etc.). Les ondelettes sont modulées par la fonction trigonométrique cosinus, qui  est parfaitement connue. Elles possèdent des caractéristiques propres. Chacune résulte d’une « somme continue » de fonctions modulées par la fonction exponentielle qui est également parfaitement connue. La « somme continue » est représentée par le symbole en forme de S allongé ; elle généralise en quelque sorte la « somme discrète », en l’écrivant sur un ensemble de nombre plus dense que celui les entiers.

Bm et B'm sont les fonctions de Bessel, et de sa dérivée (c’est-à-dire sa variation) ; elles sont aussi connues et tirent leur nom de baptême du physicien allemand Friedrich-Wilhelm BESSEL (1784-1846), qui s’est intéressé entre autres au calcul des trajectoires de corps célestes. Les fonctions qui portent son nom sont aisément calculables... et pas si mystérieuses que cela.


Des experts auront peut-être reconnu dans l'écriture précédente la transformation de Fourier. Joseph FOURIER est un mathématicien français, a développé des outils de calcul, dont la transformée mathématique qui porte son nom, afin de trouver des solutions analytiques à l’équation de propagation de la chaleur. Cet outil trouve de nombreux usages dans les communications, l’informatique, l’imagerie, le traitement des données...

Joseph FOURIER (1768-1830)

jeudi 24 août 2017

Onde sensuelle #2

La propagation d’ondes correspond à des vibrations de proche en proche d’un matériau, comme ceux des instruments de musique, ou d’un fluide, comme l’air qui transmet leur harmonie. Elle est décrite par une équation de la forme :
²(𝜌𝜓)/∂t² = E ²𝜓/∂x²
Celle-ci stipule que l’accélération d’un morceau de la corde d’un violon (représentée par ²(𝜌𝜓)/∂t²) est proportionnelle à la variation moyenne du mouvement des morceaux de corde voisins (contenue dans le terme ²𝜓/∂x2²). Elle est aussi baptisée du nom de Jean LE ROND D'ALEMBERT (1717-1783), mathématicien qui l'énonça dans ses Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration en 1747, alors qu’il s’intéressait précisément à la physique des cordes vibrantes.
 
Jean LE ROND D'ALEMBERT par Quentin de La Tour (1753)

L’équation met en jeu les caractéristiques physiques de la corde : 𝜌 la masse volumique du métal dont elle est constituée, et son module d’Young E, qui caractérise sa résistance à la tension – et sa rigidité. Le rapport entre 𝜌  et E  définit la vitesse de propagation de l’onde dans la corde. Plus précisément :
 c = √(E/𝜌)
est la célérité de l’onde dans la matériau. A titre d’exemple, le son se déplace à la vitesse de 330 m/s dans l’air, 1500 m/s dans l’eau, 3300 m/s dans le bois et 5500 m/s dans l’acier – par comparaison, le sprinter Usain BOLT parcourt un cent mètres olympique à la vitesse de 10,45 m/s…

Dans certaines situations, il est possible de trouver une solution exacte à l'équation de propagation, c’est-à-dire une expression abstraite que l’on peut écrire à la main, au moyen de fonctions mathématiques dont on connaît les valeurs – au moyen de tables accessibles dans une base de données, sur support informatique ou papier, ou à l’aide de calculatrices plus ou moins élaborées. C’est par exemple le cas pour un problème étudié par Leblond et al. en 2009, celui d’une propagation d’onde de pression dans l’eau. Comme celle qui peut aussi être issue des vibrations d’un navire : imputées au ronronnement excessif de ses moteurs ou aux fluctuations de son hélice, elles peuvent générer des bruits importants dans l’océan et éloigner des espèces aquatiques de leurs zones de vie ; détectés par un navire militaire, elles signalent la présence d’un navire adverse. Modéliser la propagation de cette onde, la façon dont elle se comporte lorsqu’elle rencontre un obstacle, comme une coque de navire, permet de se prémunir de ses effets... et c'est aussi comprendre comment certaines espèces sous-marines communiquent et s'adaptent à leur environnement !

(c) Philip PLISSON

mercredi 23 août 2017

Onde sensuelle #1

Onde de choc diffractée par un triangle (Mylton VAN DYKE – "An Album of Fluid Motion", 1985)


La simulation numérique se fonde sur le postulat qu’il est possible de rendre compte de phénomènes physiques – ou autres, par exemple biologiques, économiques, démographiques, physiologiques, etc. – au moyens de modèles mathématiques, constitués d’un ensemble d’équations, auquel est associé un certain nombre d’hypothèses qui bornent leur utilisation. La validité du modèle est attestée par une confrontation empirique avec la réalité physique et sa précision dans un domaine donné fait l’objet d’un consensus.

Le modèle mathématique acquiert dans ces conditions une capacité prédictive plus ou moins importante et il peut alors être utilisé pour caractériser l’entité étudiée (par exemple pour prévoir la durée de vie d’un appareil électrique, le confort acoustique et thermique d’une salle de spectacle, la consommation de carburant d’une automobile, la vitesse de navigation d’un sous-marin, le rendement d’une éolienne ou les variations de population d’un pays, etc.). Ce pouvoir – au sens de potentialité – du modèle mathématique est ainsi décrit au XVIIIème siècle par le mathématicien et physicien Pierre-Simon DE LAPLACE (1749-1827). 
 
« Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces donc la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’Analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome: rien ne serait incertain pour elle et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »

Pierre-Simon DE LAPLACE (1749-1827)


mardi 22 août 2017

Des fleurs pour C.



C. aimait les fleurs – selon son frère, elle en connaissait de nombreuses espèces et leur accordait beaucoup d'amour et de soin. Comme à toutes celles et ceux, les enfants en particulier, à qui elle consacrait l'essentiel de son temps. Parfois au détriment d'elle-même... Elle a passé l'essentiel de sa vie dans un petit village de Sologne, appréciée par tous pour sa gentillesse et son dévouement. Aujourd'hui, ils étaient nombreux à venir lui dire au revoir ; simplement : avec des fleurs. 

Dans les Fleurs du Midi, paru en 1836, la poétesse Louise COLET parle ainsi des "Fleurs que j'aime"...

Fleurs arrosées
Par les rosées
Du mois de mai,
Que je vous aime !
Vous que parsème
L'air embaumé !

Par vos guirlandes,
Les champs, les landes
Sont diaprés :
La marguerite
Modeste habite
Au bord des prés.

Le bluet jette
Sa frêle aigrette
Dans la moisson ;
Et sur les roches
Pendent les cloches
Du liseron.

Le chèvrefeuille
Mêle sa feuille
Au blanc jasmin,
Et l'églantine
Plie et s'incline
Sur le chemin.

Coupe d'opale,
Sur l'eau s'étale
Le nénufar ;
La nonpareille
Offre à l'abeille
Son doux nectar.

Sur la verveine
Le noir phalène
Vient reposer ;
La sensitive
Se meurt, craintive,
Sous un baiser.

De la pervenche
La fleur se penche
Sur le cyprès ;
L'onde qui glisse
Voit le narcisse
Fleurir tout près.

Fleurs virginales,
A vos rivales,
Roses et lis,
Je vous préfère,
Quand je vais faire
Dans les taillis
Une couronne
Dont j'environne
Mes blonds cheveux,
Ou que je donne
A la Madone
Avec mes vœux.

 Louise COLET (1810-1876)

lundi 21 août 2017

Elephant

(c) HBO Films, 2003


Couronné par une Palme d’Or doublée d'un Prix de la Mise en Scène au festival de Cannes en 2003, Elephant est considéré par une grande partie de la critique et des spectateurs comme l’un des films les plus aboutis de Gus VAN SANT

Elephant appartient au troisième temps de l’œuvre de Gus VAN SANT, qui est celui d’un retour à un cinéma "indépendant". Après un passage par un cinéma "de studios" (marqué par des productions plutôt grand public, parmi lesquelles To Die For/Prête à tout [1995], Good Will Hunting/Will Hunting [1997], Meeting Forester/A la rencontre de Forester [2000]), qui fait suite à une première période "avant-gardiste" (celle de Mala Noche [1985] et My Own Private Idaho [1991]).

Cette période est constituée d'une quadrilogie, entamée avec Gerry (2002) et terminée avec Paranoïd Park (2007) ; précédant Last Days (2005), Elephant en est le deuxième opus, sans doute le plus caractéristique de cet ensemble assez homogène, dont le dénominateur commun pourrait être la figure de l’Adolescent.

Elephant intrigue dès son titre, pour le moins trompeur, lequel peut renvoyer par exemple à l’emblème du Parti Républicain américain, invitant ainsi à une lecture politique du film. Le récit multiplie les points de vue sur un fait divers survenu aux Etats-Unis en 1999, la tuerie du Lycée de Colombine, qui a inspiré dans un registre différent le militant Bowling for Columbine de Michaël MOORE (2002). Là où Michaël MOORE assénait une explication polémique et engagée de la cette tragédie, Gus VAN SANT en présente une variation poétique et dégagée.

En ce sens, le film peut faire penser à la fable des aveugles et de l’éléphant, métaphore de la difficulté d’appréhender un Tout au-delà de la perception de ses Parties.

Une troisième piste de lecture du titre est donnée par le réalisateur lui-même, qui revendique un emprunt direct au court métrage éponyme d’Alan CLARKE (1989), dont il s’inspire explicitement dans l’utilisation de long travelling déambulatoires.

Gus VAN SANT travaille dans Elephant sur la matière première du cinéma, l’espace et le temps, pour développer un récit de l’entre-deux. Il met en scène la condition de l’adolescence, période de l’entre-deux âges par excellence. Il construit dans Elephant un cinéma à la fois archaïque (le plan d’ouverture sur les nuages passant dans le ciel ramène à l’interprétation antique des présages ; l’utilisation de nombreux symboles suggère une vision première de la complexité du monde) et moderne (le recours à de longs plans-séquences admirablement maîtrisés et le travail très soigné de la bande son et du montage en sont les principaux caractères). 

Le film dépeint l’ambivalence de l’être humain, perdu quelque part entre son désir d’élévation spirituelle et les contraintes imposées par sa contingence terrienne, et dont la pesanteur en est l’expression la plus criante. Ce thème se retrouve également dans Paranoïd Park, où les plans des trajectoires aériennes des skateurs répondent, dans Elephant, au plan ralenti du chien bondissant et jouant avec le personnage de John, personnage et fil – d’Ariane – conducteur du récit.

En ce sens, une interprétation physique s’imposerait presque, tant le jeu des correspondances entre la description cinématographique et mécanique du monde est présent dans le film (la référence aux cours de sciences dans Elephant et Paranoïd Park laisse d'ailleurs à penser que ce rapprochement n’est pas fortuit).
Ce caractère dual est placé de façon générale au centre de l’œuvre de Gus VAN SANT. Dans Elephant, les personnages d’Elias (le photographe) et d’Alex (l’un des tueurs) sont des doubles dont les actions se répondent : to shoot désignant en anglais à la fois l’action d’appuyer sur la gâchette d’une arme et celle de prendre une photo. Le clic de l’appareil photo d’Elias répond au bang du fusil d’Alex dans leur – unique – face-à-face à la bibliothèque du lycée, où commence la tragédie. 

Cet usage des doubles n’est pas propre au récit d’Elephant et se retrouve de façon évidente par exemple dans Gerry et à différents niveaux dans Good Will Hunting (oppositions entre les amis Will [Matt DAMON] et Chuckie [Ben AFFLECK], du maître et de l’élève, des personnages de professeurs [Robin WILLIAMS/Stellan SKARSGÅRD]). Cette dualité s’étend au rapport entre les générations (les adultes portent par leur absence une responsabilité dans les tragédies d’Elephant et Paranoïd Park) et aux rapports entre les adolescents entre eux. Différentes séquences en sont l'illustration Elephant – sur un mode essentiellement anxiogène et conflictuel.

Gus VAN SANT pose ainsi la question du lien entre les individus ; il semble en déplorer la destruction, colorant son film, par cette piste d’explication possible de la tragédie, d’un propos politique que chacun reste libre d’interpréter.

dimanche 20 août 2017

Procrastination



Procrastination (n.f.) La procrastination (du latin pro, qui signifie "en avant" et crastinus qui signifie "du lendemain") est une tendance à remettre systématiquement au lendemain des actions (qu’elles soient limitées à un domaine précis de la vie quotidienne ou non).

Exemple : J'ai décidé de remettre à demain ma procrastination.

samedi 19 août 2017

Août

(c) Robert DOISNEAU

Dans la Nuit d'Août, d'Alfred DE MUSSET.

La Muse dit et demande :

"Depuis que le soleil, dans l'horizon immense,
A franchi le Cancer sur son axe enflammé,
Le bonheur m'a quittée, et j'attends en silence
L'heure où m'appellera mon ami bien-aimé.
Hélas ! depuis longtemps sa demeure est déserte ;
Des beaux jours d'autrefois rien n'y semble vivant.
Seule, je viens encor, de mon voile couverte,
Poser mon front brûlant sur sa porte entr'ouverte,
Comme une veuve en pleurs au tombeau d'un enfant...
(.../...)
Hélas ! ta joue en fleur plaisait à la déesse
Qui porte dans ses mains la force et la santé.
De tes yeux insensés les larmes l'ont pâlie ;
Ainsi que ta beauté, tu perdras ta vertu.
Et moi qui t'aimerai comme une unique amie,
Quand les dieux irrités m'ôteront ton génie,
Si je tombe des cieux, que me répondras-tu ?"

Et Le Poète lui répond :

" (.../...) J'aime, et je veux chanter la joie et la paresse,
Ma folle expérience et mes soucis d'un jour,
Et je veux raconter et répéter sans cesse
Qu'après avoir juré de vivre sans maîtresse,
J'ai fait serment de vivre et de mourir d'amour.

Dépouille devant tous l'orgueil qui te dévore,
Coeur gonflé d'amertume et qui t'es cru fermé.
Aime, et tu renaîtras ; fais-toi fleur pour éclore.
Après avoir souffert, il faut souffrir encore ;
Il faut aimer sans cesse, après avoir aimé."

vendredi 18 août 2017

Le monde est quantique !

(c) Hans SILVETER


Un chat vivant et mort à la fois, et des particules enlacées à distance, dont on ne sait pas dire où elles sont en même temps que où elle vont… Près d’un siècle après sa naissance, la mécanique quantique continue d’intriguer et de fasciner ! Informatique, neurosciences, philosophie, psychologie ou médecine déclinent aujourd’hui les concepts ou certains des résultats de la mécanique quantique… parfois au-delà de ce que les physiciens leur font dire vraiment.

Pierres qui roulent…

La mécanique quantique décrit le comportement de systèmes physiques à l’échelle de l’infiniment petit : les atomes et les particules qui les composent, par exemple. L’essentiel est invisible pour les yeux : l’électron, cette particule chargée d'électricité qui gravite autour du noyau d’un atome comme la terre autour du soleil, a un diamètre de 3×10-15 m. L’équivalent d’une bille de verre rapportée à la distance entre le Soleil et Pluton, la planète qui en est la plus éloignée ! A cette échelle, la mécanique classique, qui régit le monde visible et les dimensions de notre quotidien, n’est plus valable : elle est une approximation de la mécanique quantique.

Pour cette dernière, le monde est probabiliste, là où nous avons l’habitude de le voir déterministe. Les modèles de la mécanique classique permettent de prédire, avec une certaine précision, les résultats d’une expérience ou d’un phénomène, comme la vitesse du vent ou la hauteur des vagues lors d’une tempête. Les modèles quantiques prédisent par exemple l’état de l’électron en termes de probabilité d’une mesure, comme celle de sa vitesse ou sa position – auxquelles on ne peut pas avoir accès en même temps, alors que cela est possible pour la mer ou le vent !

Incertitude et intrication sont les résultats les plus spectaculaires de la mécanique quantique. L’intrication enflamme les imaginations : elle désigne cette propriété de deux systèmes quantiques d’être liés en quelque sorte au-delà des contraintes de l’espace et du temps que nous expérimentons au quotidien. Pour l’illustrer, le physicien Etienne KLEIN utilise le rock n'roll. Selon lui, Mick JAGGER et Keith RICHARDS sont intriqués : leurs carrières séparées sont sans relief, tandis que, réunis dans les Rolling Stones, ils donnent le meilleur d’eux-mêmes !

Dans l’intimité des équations

Léonard SUSSKIND, titulaire de la chaire de physique théorique de la prestigieuse Université de Stanford, et son disciple Art FRIEDMAN, proposent avec Mécanique Quantique, Le minimum Théorique, une introduction, accessible et rigoureuse, à son formalisme et à son utilisation.

Nul besoin d’être un expert du domaine pour lire leur prose et apprécier les mystères quantiques. Matrices et vecteurs, modes et valeurs propres, base modale, produit scalaire. Pour comprendre comment les physiciens regardent l’invisible, tout ce que vous avez besoin de connaître est le formalisme des espaces vectoriels.Avec un bagage d'étudiant de première ou seconde année en sciences, le livre est à votre portée.

Qu’est ce qu’une expérience sur un système quantique ? Qu’est ce qu’un état quantique ? Comment évolue un système quantique ? Comment s’écrivent l’intrication et le principe d’incertitude ? Quelles sont les liens entre mécanique classique et mécanique quantique ?

Les équations sont la grammaire de la nature : dans un langage clair et accessible, les auteurs dialoguent avec elles. Ils leur donnent la parole pour répondre à ces questions – avec le minimum théorique ! Et l’on se sent tout d’un coup intelligent, comme souvent avec les vulgarisateurs hors pair.

Pour les plus motivés des lecteurs, ils proposent quelques exercices pour approfondir les notions présentées. Munissez-vous d’une feuille de papier et d’un crayon, à la terrasse d’un café pour ceux qui aiment réfléchir dans l’agitation… ou dans le calme d’une bibliothèque. Réfléchissez en posant quelques calculs – juste pour le plaisir de chercher et de trouver. Grâce à Léonard SUSSKIND, vous calerez vos pas sur les traces de certains des grands esprits du XXème siècle.

Un ouvrage quantique... et magique !


Leonard SUSSKIND, Art FREIDMAN – Mécanique Quantique, le Minimum Théorique – Presses polytechniques et universitaires romandes, 2015 (30€, 355 pages)

jeudi 17 août 2017

So British !


http://www.itv.com/downtonabbey/


La série Downton Abbey me rappelle le livre de Kazuo ISHIGURO, The Remains of the Day. Elle décrit un monde fait de conventions, auxquelles certains adhèrent par sécurité et que d'autres acceptent par intérêt... Comment il se transforme, sous l'effet des passions, des projets, des idées ; et des forces de l'Histoire.

Upstairs et Downstairs, ainsi que sont désignés les aristocrates et leur personnel, sont les deux faces d'une même pièce. Escaliers symboles d'une position des individus ; comme dans les films de Douglas SIRK, la position de chacun sur les 39 marches (ou plus), est révélatrice d'une part de leur destin.

Hégélienne dialectique du maître et de l'esclave. Qui a besoin de l'autre pour vivre ? Qui en sait le plus sur l'autre ? Qui prend le pouvoir sur l'autre... et qui vient au secours de l'autre ? Intrigues des maîtres et des valets se répondent et parfois se confondent.

Les êtres humains naissent libres et égaux en droits et en dignité ; également pourvu d'intelligence, quelle que soit la naissance. Leur organisation en groupe ou en société décide ensuite d'une hiérarchie : au-dessus ou en-dessous...


Les personnalités et intelligences ne connaissent pas les barrières créées par l'ordre établi Robert CRAWLEY, comte de Grantham et Charles CARSON, le majordome de Downton Abbey, sont au fond égaux. Chacun à la tête d'une petite société, ils en maintiennent la cohésion avec leur sens du devoir et de la tradition ; et recherchent tous deux une forme de justice et de morale sans laquelle ce monde s'écroulerait... Nous sommes à l'aube des révolutions ; celles que la première guerre mondiale va porter pour le reste du siècle ; celles des mouvements socialistes et féministes.

La série fait ainsi la part belle aux femmes, de différentes générations ou conditions.

Lady Grantham (ou Cora CRAWLEY) communique sa lumière et sa chaleur dans les froids couloirs et les obscurs recoins de Downton Abbey. Une forme de décontraction américaine qui adoucit la raideur des conventions britanniques. Femme aimante, mère attentive et protectrice. Conciliante autant que ferme lorsqu'il s'agit de protéger les siens ou ses décisions ; et qui sait alors comment agir et quoi dire dans les moments clefs pour se faire respecter.

Mary, impétueuse et forte ; rebelle et tragique ; femme de tête... et de coeur, lorsqu'elle admet sa vulnérabilité. Elle est, des trois filles de Lord et Lady Grantham, la préférée du majordome Charles, qui oublie avec elle les astreintes du devoir, de la partialité et des convenances ("Après-tout, nous avons tous nos préférences..." confesse-t-il à Elsie, la gouvernante, son double féminin ; un grand-père de substitution, aussi fait d'amour et de compassion). Mary a confiance en elle-même, en son pouvoir, en ses charmes... et vit le conflit intérieur de ceux qui ont du mal à écouter leur coeur, tout en agissant avec détermination.

Edith, tour-à-tour ange et démon. En quête d'une simplicité que ne lui permet pas de vivre le monde auquel elle appartient. Lorsqu'elle contribue aux travaux de la ferme voisine, conduisant un tracteur et partageant une bière bue au goulot. Démon : capable de dénoncer un intime secret pour nuire à sa soeur Mary. Force et fragilité la composent — comme ses soeurs, comme nous tous.  

Violet CRAWLEY à qui l'actrice Maggie SMITH donne vie... in such a British way! Mère de Lord Grantham, calculatrice quand il s'agit de garder son titre et ses biens ("Nous sommes plus que des amies," dit-elle à Cora, "Nous sommes des alliées : c'est plus efficace..."). Pour elle, le coeur ne sert qu'à pomper le sang... Et elle peut aussi dans certains moments en faire un autre usage — renoncer par exemple généreusement au premier prix du concours de roses de Downton, qui lui revient traditionnellement ; attribution généreuse d'un jury qui ne s'embarrasse pas de considérations de qualité... si ce n'est sociale !


Isobel CRAWLEY n'a pas grandi sous les ors de Downton Abbey, mais s'adapte rapidement aux us et coutumes de sa lointaine famille... sans changer qui elle est au fond. Sens de la justice et de l'action : elle est de toutes les batailles, dont celle de l'arrière-front. Elle organise les soins pour les hommes meurtris pas la stupidité des stratèges de la Grande Guerre. Elle sait ce qu'elle veut, fait ce qu'elle peut... et se confronte finement à l'autorité établie, qu'elle contribue aussi à changer avec énergie et détermination.

Sarah O'BRIEN, intrigante femme de chambre de Lady Grantham ; capable du pire pour sauver sa place, comme laisser littéralement glisser sa maîtresse sur un savon... et provoquer un accident fatal. Alliée de Thomas, personnalité trouble et troublée, elle est le contre-point des personnages féminins positifs... Et comme tous, elle possède sa complexité, ses blessures, qui se devinent petit-à-petit.

Anna, première femme de chambre : sensible, douce et profonde. Aussi belle de l'intérieur que de l'extérieur. Idéaliste comme Lady Sybil, la cadette des Grantham qui bouscule l'ordre établi. Par ses aspirations, dont celle de dépasser les conventions sociales : parce qu'elles ne lui semblent ni justes, ni sources d'épanouissement. Elle s'engage dans la conquête des droits, précurseure d'un féminisme que les circonstances de la guerre vont rendre pensable et possible ; et le décline en action. Le chemin d'Anna et de Lady Sybil se fait avec mal et bon heurs. Elles sont toutes deux touchantes : leur foi inébranlable en leurs rêves qu'elles préfèrent vivre et pour lesquels elles se battent... avec la patience des personnalités qui croient en elles.
 
L'interprétation et l'écriture de cette série me plaisent : elle est exploitée ici à fond... pour nous prendre d'affection aux personnages, auxquels un casting brillant donne vie de façon remarquable. D'en suivre les évolutions ; les choix ; les combats et les renoncements. Depuis 6FU, je n'avais pas repris goût à ce format... Yes, indeed, My Lady, quite so !

mercredi 16 août 2017

Neptunus Favet Eunti



Fluctuat Nec Mergitur 

Et si nous nous prenions une pause en bord de Loire ? Contempler le temps qui passe, comme s'écoule le fleuve sous nos yeux. Aux saisons intermédiaires, il peut être tumultueux ou capricieux, fait de remous, de creux et de bosses : d'une circulation plus ou moins hiératique. Près de l'estuaire, il se fait plus tranquille ; et connaît va-et-vient influencé par les phases de la lune.

La vitesse de l'écoulement varie plus ou moins fortement dans le temps : il suffit de fixer son attention sur un point et de regarder le flux d'eau évoluer. Est-il paisible et régulier ? On dit alors en langage physique qu'il est stationnaire. Est-il changeant, alternant les moments de fort et de faible débits ? on le qualifie alors d'instationnaire et comme le langage est complexe, on peut le dire plus ou moins fortement instationnaire, sans lui donner pour l'instant de signification mathématique. La vitesse (ou le débit) de l'écoulement varie dans le temps ; il varie aussi dans l'espace : portons notre attention sur un autre endroit du fleuve, il a y de fortes chances que l'écoulement ne présente pas les mêmes caractéristiques !


Soyons bons avec le fleuve et offrons-lui quelques pétales de fleur, même s'il n'est pas le Gange. Il les emporte avec lui au grès des variations de son débit autant en emporte le vent aussi, qui met en mouvement un fluide plus léger.. comme l'air ! Pétales, feuilles ou pollen : des corps physiques de taille variable, emportés par la vitesse du fluide. On parle d'advection. Et puis trinquons aussi avec la Loire : vidons les restes de notre de verre de Chinon dans le fleuve apaisé et (presque) immobile. Le nectar pourpre se marie avec l'eau, doucement pour se confondre totalement avec lui. On appelle ce mécanisme la diffusion. Diffusion et advection se combinent pour devenir convection. Une pierre sur le cours d'eau contraint son passage. Cette présence n'est pas anodine : elle est source de modification de l'écoulement.

Equations de conservation

Les physiciens des fluides utilisent une équation qui décrit ces phénomènes physiques. Pour une grandeur caractéristique de l'écoulement (la vitesse de l'eau ou de l'air, la concentration d'une espèce chimique, la température, etc.) que l'on choisit de désigner par la lettre 𝜓, on écrit une équation qui traduit le principe de conservation de cette quantité :
∂(𝜌𝜓)/∂t + ∂(𝜌v 𝜓)/∂x =𝜮+ ∂(𝛤∂𝜓/∂x)/∂x

Chacun des termes représente un effet décrit précédemment :
  • ∂(𝜌𝜓)/∂t décrit le caractère instationnaire de l'écoulement, les fluctuations de la quantité 𝜓 dans le temps ;
  • ∂(𝜌v 𝜓)/∂x décrit l'advection de la quantité par l'écoulement, qui possède la vitesse v ;
  • ∂(𝛤∂𝜓/∂x)/∂x décrit la diffusion de la quantité 𝜓 dans l'écoulement ;
  • 𝜮 représente toutes les sources extérieures à l'écoulement et qui en modifient sa dynamique.
Les équations portent sur des grandeurs physiques mesurables (comme la vitesse, la température ou la concentration d'une espèce réactive) et mettent aussi en jeu des caractéristiques du fluide. Dans l'équation de conservation apparaissent ainsi :
  • la masse volumique du fluide (désignant la masse de matière contenu dans un volume donné), qui est notée 𝜌 ;
  • le coefficient de diffusion de la quantité 𝜓 (indiquant la propension de cette quantité à se mêler au fluide), qui est noté 𝛤 .

∂𝜓/∂* représente une opération mathématique particulière ; comme le signe + dans Roméo + Juliette indique l'addition de Roméo et de Juliette, ou / dans Roméo/Juliette leur division, celui-ci indique une opération de dérivée de la fonction 𝜓 par rapport  à la variable * dont elle dépend. Dériver, qu'est ce que cela signifie lorsque l'on n'est pas marin ? Un exemple : en calculant la vitesse moyenne du train qui parcourt les cinq cents quatre-vingt kilomètres de la ligne Paris-Bordeaux en deux heures, nous effectuons sans le savoir une opération de dérivation de la distance par rapport au temps. Il s'agit du rapport entre les deux grandeurs (580 km et 2 h), soit 290 km/h ; pour être plus précis, le conducteur consulte le compteur de vitesse, qui réalise cette opération en direct : il lui donne le résultat de la dérivation à chaque instant.

 Katsukicha HOKUSAI "Choshi dans la province de Soshu" (1830)

Pour rendre compte de la dynamique d'un fluide un ensemble de plusieurs équations de conservation est nécessaire. Si c'est l'hydrodynamique d'une embarcation qui nous préoccupe, on écrit la conservation de la masse et de la vitesse. Si l'on s'intéresse à la diffusion d'un polluant dans un fleuve, on ajoute l'équation de conservation de la concentration du composant chimique incriminé. Si c'est le confort thermique d'un habitacle que l'on souhaite améliorer, on utilise l'équation de conservation de l'énergie, avec celles de la dynamique de l'écoulement.

Dans le cas général, il n'est pas possible de trouver une solution analytique aux équations utilisées, c'est-à-dire une formule mathématique plus ou moins complexe, faisant appel à des fonctions dont les valeurs sont connues et accessibles à une calculatrice (plus ou moins performante) ou à une table de calcul (sur papier ou dans une base de données). On utilise une méthode numérique pour trouver une solution dite approchée — en s'assurant que l'on ne commet pas une erreur trop importante par rapport à la solution théorique, qui reste inaccessible ! 

Un sac de billes

Pour certains écoulements, une méthode consiste à utiliser des particules virtuelles qui représentent le fluide, air, huile ou eau — ou d'autres : peinture, ketchup, moutarde, ce que vous voulez ! Prenons  un peu de sable dans notre main (ou des petites billes de métal) et écartons les doigts : le sable ou les billes s'écoulent comme le ferait un peu d'eau ! Grains de sable ou billes n'ont pas les mêmes caractéristiques que l'eau, l'analogie s'arrête là... mais avec l'ordinateur rien d'impossible : on peut créer des billes qui ont des caractéristiques de l'eau ! Chaque bille obéit à une équation de conservation, comme celle écrite plus haut ; écrivons alors toutes ces équations pour toutes ces billes pour avoir une représentation complète de l'écoulement. Pour en calculer une solution, il nous faut décrire comment la quantité 𝜓 varie dans l'espace et dans le temps. Nous pouvons calculer de façon approchée la variation de 𝜓 dans l'espace ou dans le temps, comme nous le faisons avec la vitesse moyenne entre Paris et Bordeaux à bord de la Ligne Grande Vitesse.
Pour une variation de 𝜓 dans l'espace, regardons deux points assez proches, notés xi et xi+1 : la valeur prise par 𝜓 en ces points est notée 𝜓i et 𝜓i+1 ainsi, la variation (la dérivée) de 𝜓 est le rapport des deux quantités 𝜓i et 𝜓i+1 (l'équivalent de la distance parcourue dans le calcul de la vitesse) et xi+1 - xi (l'équivalent du temps de parcours dans le calcul de la vitesse).
Ainsi, (𝜓i+1 - 𝜓i)/(xi+1 - xi) est une approximation de la dérivée de 𝜓 par rapport à x, c'est-à-dire de ∂𝜓/∂x.

En écrivant ces relations pour toutes les billes, nous arrivons à représenter l'équation de conservation pour tout le sac... ce qui prend une forme mathématique plus simple :
𝜓/∂t + A 𝜓 = b
Dans cette équation, 𝜓 est un vecteur : c'est le sac des billes, il contient toutes les valeurs des quantités 𝜓 portées par chaque bille. A est une matrice qui représente les phénomènes de diffusion et d'advection et b est un vecteur qui représente les sources sur l'écoulement. Une matrice est un tableau de nombres ; la matrice qui représente le phénomènes physiques contient des nombres qui sont associés aux billes qui interagissent entre elles, et portent de l'information physique de proche en proche : celle qui est le moteur de la diffusion, de l'advection ou qui est la source de l'écoulement. Lorsque des billes n'interagissent pas, la matrice ne fait aucun lien entre les quantités physiques qu'elles portent et le nombre qui établit leur correspondance dans le tableau est zéro. Une matrice possède des nombres nuls ; en général en grande quantité, ce qui rend son stockage informatique plus facile. Une matrice issue d'une technique numérique prend par exemple l'allure suivante ; les points noirs indiquent la présence d'un nombre différent de zéro ; les points blancs un zéro. La taille du tableau est de plusieurs dizaines milliers de points : elle est le carré du nombre de billes ou de boites de calcul permettant d'obtenir l'équation matricielle précédente.


L'équation précédente est plus écrite pour des valeurs dites discrètes ; alors que l'équation de conservation originelles est dite continue. L'équation discrète se prête à un calcul sur un ordinateur ; pour l'accélérer, on peut utiliser des techniques de calcul parallèle, en affectant la résolution de l'équation pour un groupe de billes à un processeur : cela est très efficace !

Avec cette technique, on peut simuler des écoulements complexes, dans des temps de calcul qui sont acceptables pour les ingénieurs : par exemple, cette simulation du déferlement d'une vague sur une frégate. Le calcul utilise plus de 10 millions billes, nécessite plusieurs milliers de processeurs et prend plusieurs centaines d'heures !

www.hydrocean.fr 

Les cœurs d’un millier d’ordinateurs ont dû battre ensemble pour produire, à partir d’un modèle numérique contenant plusieurs millions d’inconnues, des données utiles aux architectes navals. Impossible d’en obtenir par d’autres moyens – à moins de faire prendre des risques à un équipage, une option évidemment impensable, sauf dans l’imaginaire d’HOKUSAÏ !